À l'origine, le Jeu de la vie fut présenté comme un jeu mathématique. Sa description va nous permettre de matérialiser et mieux comprendre ce que sont les automates cellulaires.
À l'instar des espaces cellulaires d'Ulam, le Jeu de la vie se présente sous la forme d'une grille constituée de cellules, par exemple :
L'univers est limité ici à un rectangle de 5 par 3. Pour faciliter l'explication, nous avons numéroté les cellules de 0 à 4 en horizontal et de 0 à 2 en vertical. Les cellules claires sont actives.
Dans le Jeu de la vie, est considérée comme voisine toute cellule contiguë, y compris les diagonales.
La figure ci-dessus montre le voisinage de la cellule 12. En l'occurrence, sur les huit voisins, deux sont actifs.
Les règles du Jeu de la vie sont simples :
On peut interpréter ces règles en considérant qu'une naissance nécessite un certain rassemblement de population (3 en l'occurrence), que les cellules ne peuvent survivre à un trop grand isolement (moins de 2 voisines) et qu'une trop forte concentration (plus de 3 voisines) les étouffe.
Les automates cellulaires fonctionnent de manière discrète. C'est-à-dire que le temps s'écoule par à-coups. Ceci signifie dans notre cas qu'à la génération t, chaque cellule examine son environnement et détermine son état futur. Quand l'ensemble des cellules a été traité, et seulement à ce moment là, toutes les cellules passent à l'état calculé. On simule ainsi un traitement parallèle.
Illustrons ce mécanisme à partir de la configuration précédente :
Dans le schéma précédent, le nombre de voisins actifs est noté pour chaque cellule :
À la génération suivante, seules les cellules 02, 12 et 22 seront donc actives.
On met ici en évidence les trois propriétés fondamentales des automates cellulaires « standards » 1 :
